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Die Breit-Rabi-Formel (nach Gregory Breit und Isidor Isaac Rabi (1931)cite-ref-1[1]) beschreibt in der Atomphysik die Hyperfeinstruktur-Aufspaltung des Wasserstoffatoms und wasserstoffähnlicher Atome (mit Valenzelektron in der s-Schale)cite-ref-2[2] in Abhängigkeit eines externen Magnetfeldes. Ihr Nutzen besteht vor allem darin, dass sie auch im Übergangsbereich zwischen schwachen (Zeeman-Effekt) und starken Feldstärken (Paschen-Back-Effekt) quantitativ gültig ist. Dies ist beim Wasserstoffatom von besonderer Bedeutung, weil dessen Kern- und Hüllendrehimpuls schon bei geringen Flussdichten im Bereich B ≈ ≈ 0 , 05 T {\displaystyle B\approx 0{,}05\,\mathrm {T} } entkoppeln.

Die Breit-Rabi-Formel ist ein Ausdruck für die Energieverschiebung eines Niveaus mit allgemeinem Kernspin I {\displaystyle I} und magnetischer Quantenzahl des Gesamtdrehimpulses m F {\displaystyle m_{F}} , jedoch einem vorgegebenen Hüllendrehimpuls J = 1 2 {\displaystyle J={\tfrac {1}{2}}} . Sie lautet:cite-ref-3[3]cite-ref-4[4]

W I ± ± 1 2 , m F = − − A 4 + g I m F μ μ K B ± ± A ( 2 I + 1 ) 4 1 + 8 m F ( g J μ μ B − − g I μ μ K ) ( 2 I + 1 ) 2 A B + ( 2 g J μ μ B − − g I μ μ K A ( 2 I + 1 ) B ) 2 {\displaystyle {W_{I\pm {\frac {1}{2}},m_{F}}=-{\frac {A}{4}}+g_{I}m_{F}\mu _{\mathrm {K} }B\pm {\frac {A(2I+1)}{4}}{\sqrt {1+{\frac {8m_{F}\left(g_{J}\mu _{\mathrm {B} }-g_{I}\mu _{\mathrm {K} }\right)}{(2I+1)^{2}A}}B+\left(2{\frac {g_{J}\mu _{\mathrm {B} }-g_{I}\mu _{\mathrm {K} }}{A(2I+1)}}B\right)^{2}}}}}

Dabei ist A {\displaystyle A} die atomspezifische Hyperfeinstruktur-Kopplungskonstante, μ μ B {\displaystyle \mu _{\mathrm {B} }} das Bohrsche und μ μ K {\displaystyle \mu _{\mathrm {K} }} das Kernmagneton. g J {\displaystyle g_{J}} und g I {\displaystyle g_{I}} sind die Landé-Faktoren des Hüllendrehimpulses J {\displaystyle J} bzw. Kernspins I {\displaystyle I} .

• Herleitung für den Grundzustand des Wasserstoffatoms

• Einzelnachweise

Die Drehimpulse werden hier mit den Drehimpulsquantenzahlen beschrieben, die dem Betrag eines Drehimpulses in Einheiten der reduzierten Planck-Konstante ℏ ℏ {\displaystyle \hbar } entsprechen. Das Wasserstoffatoms hat einen Kernspin I = | I → → | ℏ ℏ = 1 2 {\textstyle I={\frac {|{\vec {I}}|}{\hbar }}={\frac {1}{2}}} . Das einzige Elektron hat im Grundzustand ( l = 0 {\displaystyle l=0} ) nur einen Spin-Drehimpuls, der gleichzeitig auch der gesamte Hüllendrehimpuls J = | J → → | ℏ ℏ = 1 2 {\textstyle J={\frac {|{\vec {J}}|}{\hbar }}={\frac {1}{2}}} ist. Kernspin und Hüllendrehimpuls koppeln gemäß der Drehimpulsalgebra zum Gesamtdrehimpuls F → → = I → → + J → → {\displaystyle {\vec {F}}={\vec {I}}+{\vec {J}}} . Die nun folgende Herleitung für diesen einfachsten Fall lässt sich für verschiedene Werte von J {\displaystyle J} und I {\displaystyle I} stark verallgemeinern. Das grundsätzliche Verfahren wird in der hier vorgestellten Form jedoch gut ersichtlich.

Der Hamiltonoperator der Hyperfeinstruktur mit einem B-Feld in z-Richtung ist:cite-ref-5[5]

H ^ ^ H F S = A I → → ⋅ ⋅ J → → ℏ ℏ 2 + ( g J μ μ B J z ℏ ℏ − − g I μ μ K I z ℏ ℏ ) B {\displaystyle {\hat {H}}_{\mathrm {HFS} }=A{\frac {{\vec {I}}\cdot {\vec {J}}}{\hbar ^{2}}}+\left(g_{J}\mu _{\mathrm {B} }{\frac {J_{z}}{\hbar }}-g_{I}\mu _{\mathrm {K} }{\frac {I_{z}}{\hbar }}\right)B}

Dieser Hamilton-Operator wird nun in einer geeigneten Basis | J I F m F ⟩ ⟩ {\displaystyle |JIFm_{F}\rangle } diagonalisiert, die sich aus "guten Quantenzahlen" zusammensetzt; mit der Projektion des Drehimpulses F → → {\displaystyle {\vec {F}}} auf die Richtung des Magnetfeldes m F = m J + m I {\textstyle m_{F}=m_{J}+m_{I}} (magnetische Quantenzahl). Der erste Summand des obigen Hamiltonian ist in dieser Basis diagonal und lässt sich ausdrücken als

A I → → ⋅ ⋅ J → → ℏ ℏ 2 = A 2 ( F ( F + 1 ) − − I ( I + 1 ) − − J ( J + 1 ) ) {\displaystyle A{\frac {{\vec {I}}\cdot {\vec {J}}}{\hbar ^{2}}}={\frac {A}{2}}\left(F(F+1)-I(I+1)-J(J+1)\right)}

Die z {\displaystyle z} -Komponenten I z {\displaystyle I_{z}} und J z {\displaystyle J_{z}} lassen sich mit dem Wigner-Eckart-Theorem ebenfalls in Matrix-Form darstellen. Die Zeilen bzw. Spalten sind links bzw. oben mit Indizes versehen, die als ( F | m F ) {\displaystyle (F|m_{F})} zu lesen sind. Abseits der Diagonalen sind fast alle Einträge null, außer denen mit m F = 0 {\displaystyle m_{F}=0} , die mischen.

⟨ ⟨ J I F ′ m F ′ | J z | J I F m F ⟩ ⟩ ℏ ℏ = ( ( 0 | 0 ) ( 1 | − − 1 ) ( 1 | 0 ) ( 1 | 1 ) ( 0 | 0 ) 0 0 1 2 0 ( 1 | − − 1 ) 0 − − 1 2 0 0 ( 1 | 0 ) 1 2 0 0 0 ( 1 | 1 ) 0 0 0 1 2 ) {\displaystyle {\frac {\langle JIF'm_{F}'|J_{z}|JIFm_{F}\rangle }{\hbar }}=\left({\begin{array}{c|cccc}&\left(0|0\right)&\left(1|-1\right)&\left(1|0\right)&\left(1|1\right)\\\hline \left(0|0\right)&0&0&{\frac {1}{2}}&0\\\left(1|-1\right)&0&-{\frac {1}{2}}&0&0\\\left(1|0\right)&{\frac {1}{2}}&0&0&0\\\left(1|1\right)&0&0&0&{\frac {1}{2}}\end{array}}\right)}

Analog folgt für die z {\displaystyle z} -Komponente des Kernspins:

⟨ ⟨ J I F ′ m F ′ | I z | J I F m F ⟩ ⟩ ℏ ℏ = ( ( 0 | 0 ) ( 1 | − − 1 ) ( 1 | 0 ) ( 1 | 1 ) ( 0 | 0 ) 0 0 − − 1 2 0 ( 1 | − − 1 ) 0 − − 1 2 0 0 ( 1 | 0 ) − − 1 2 0 0 0 ( 1 | 1 ) 0 0 0 1 2 ) {\displaystyle {\frac {\langle JIF'm_{F}'|I_{z}|JIFm_{F}\rangle }{\hbar }}=\left({\begin{array}{c|cccc}&\left(0|0\right)&\left(1|-1\right)&\left(1|0\right)&\left(1|1\right)\\\hline \left(0|0\right)&0&0&-{\frac {1}{2}}&0\\\left(1|-1\right)&0&-{\frac {1}{2}}&0&0\\\left(1|0\right)&-{\frac {1}{2}}&0&0&0\\\left(1|1\right)&0&0&0&{\frac {1}{2}}\end{array}}\right)}

Addiert man alle drei einzeln in Matrix-Darstellung gebrachten Terme auf und setzt I = J = 1 2 {\displaystyle I=J={\frac {1}{2}}} sowie g J ≈ ≈ 2 {\displaystyle g_{J}\approx 2} für das Wasserstoffatom ein, dann ergibt sich für den Hamiltonian:cite-ref-6[6]

H ^ ^ H F S = ( ( 0 | 0 ) ( 1 | − − 1 ) ( 1 | 0 ) ( 1 | 1 ) ( 0 | 0 ) − − 3 A 4 0 ( μ μ B + g I 2 μ μ K ) B 0 ( 1 | − − 1 ) 0 A 4 − − ( μ μ B − − g I 2 μ μ K ) B 0 0 ( 1 | 0 ) ( μ μ B + g I 2 μ μ K ) B 0 A 4 0 ( 1 | 1 ) 0 0 0 A 4 + ( μ μ B − − g I 2 μ μ K ) B ) {\displaystyle {\hat {H}}_{\mathrm {HFS} }=\left({\begin{array}{c|cccc}&\left(0|0\right)&\left(1|-1\right)&\left(1|0\right)&\left(1|1\right)\\\hline (0|0)&-{\frac {3A}{4}}&0&\left(\mu _{\mathrm {B} }+{\frac {g_{I}}{2}}\mu _{\mathrm {K} }\right)B&0\\(1|-1)&0&{\frac {A}{4}}-\left(\mu _{\mathrm {B} }-{\frac {g_{I}}{2}}\mu _{\mathrm {K} }\right)B&0&0\\(1|0)&\left(\mu _{\mathrm {B} }+{\frac {g_{I}}{2}}\mu _{\mathrm {K} }\right)B&0&{\frac {A}{4}}&0\\(1|1)&0&0&0&{\frac {A}{4}}+\left(\mu _{\mathrm {B} }-{\frac {g_{I}}{2}}\mu _{\mathrm {K} }\right)B\end{array}}\right)}

Die Eigenwerte dieser Matrix ergeben unter Vernachlässigung quadratischer Terme in μ μ K {\displaystyle \mu _{\mathrm {K} }} für allgemeine Werte für I , F {\displaystyle I,F} und m F {\displaystyle m_{F}} gerade die oben genannte Breit-Rabi-Formel.

cite-note-11. ↑ Gregory Breit, Isidor Isaac Rabi: Measurement of Nuclear Spin. In: Physical Review Letters. Band 38, Nr. 11, November 1931, S. 2082–2083, doi:10.1103/PhysRev.38.2082.2.

cite-note-22. ↑ Florian Scheck: Quantum Physics. Springer, 2013, ISBN 978-3-642-34563-0, S. 284.

cite-note-33. ↑ Blair, B.E. and Morgan, A.H.: Frequency and Time. U.S. Government Printing Office, 1972, ISBN 978-3-642-34563-0, S. 13–14.

cite-note-44. ↑ Dieter Meschede (Hrsg.): Gerthsen Physik. 25. Auflage. Springer, 2015, S. 762.

cite-note-55. ↑ Ingolf V. Hertel, Claus-Peter Schulz: Atome, Moleküle und optische Physik 1 – Atomphysik und Grundlagen der Spektroskopie. 1. Auflage. Springer, Berlin, Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-30613-9, S. 362.

cite-note-66. ↑ Ingolf V. Hertel, Claus-Peter Schulz: Atome, Moleküle und optische Physik 1 – Atomphysik und Grundlagen der Spektroskopie. 1. Auflage. Springer, Berlin, Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-30613-9, S. 367 ff.